درس في الاحصاء

بناء على نتائج التقويم التحصيلي الفصلي، نقوم بتحديد التلاميذ حسب عدة مجالات عددية فيها من ينجح وفيها من يخسر. والتعامل العددي يعبر عنه بالإحصاء الذي هو : الدراسة المنظمة لكيفية جمع البيانات، وعرضها، وتفسيرها. ويعتبر استعمال التمثيل بالنقاط من الطرق المناسبة للتعرف إلى كيفية توزيع البيانات. وتكون القيمة المتطرفة أصغر أو أكبر من بقية البيانات، بدرجة كبيرة إلى حد ما. ويعبّر عن الفرق بين أعلى قيمة وأدنى قيمة في مجموعة من البيانات بالمدى.
العدد الذي يستعمل لوصف مركز مجموعة من البيانات هو مقياس للنزعة المركزية.وأكثر مقاييس النزعة المركزية استعمالاً هو المتوسط الحسابي.




1 - بعض المفاهيم الأساسية:

المفهوم ما يقابله في الرياضيات
المجتمع الإحصائي المجموعة
العينة كل مجموعة جزئية من المجموعة
الوحدة الإحصائية أو الفرد الإحصائي كل عنصر من المجموعة
مثال:
* مجموعة مفتشي التعليم الابتدائي تدعى مجتمع إحصائي وهو مجموعة من المفردات (الوحدة الإحصائية) أو العناصر المشتركة في الصفة، فمثلا عند دراسة الرسوب في ولاية برج بوعريريج، فإن المجتمع الإحصائي هو جميع التلاميذ الذين تحصلوا على معدل أقل من 5.
وينقسم المجتمع الإحصائي إلى قسمين رئيسين هما:
أ)- المجتمع الإحصائي المحدود(المنتهي): هو ذلك المجتمع الإحصائي الذي يمكن معرفة عدد مفرداته مثل عدد تلاميذ المقاطعة ......
ب)- المجتمع الإحصائي غير المحدود(غير المنتهي): هو ذلك المجتمع الإحصائي الذي لا يمكن معرفة حجمه أو عدد مفرداته مثل عدد النجوم في السماء، أوراق الأشجار...
* مجموعة مفتشي جديدي العهد بالمهنة تدعى عينة ويجب أن تمثل ذلك المجتمع الإحصائي الذي سحبت منه تمثيلا حقيقيا، وعددها فيدعى بحجم العينة.
* كل مفتش يدعى وحدة إحصائية.

ميزة متغير إحصائي نوعان:
أ)- ميزة متغير إحصائي نوعي (كيفي، وصفي): وهي تلك المتغيرات التي لا يمكن قياسها رقميا أي التي يتم التعبير عنها بالوصف وليس بالأرقام مثل: الجنسية، لون البشرة .....
ب)- ميزة متغير إحصائي كمي: وهي تلك المتغيرات التي يمكن التعبير عنها أو قياسها رقميا مثل: الطول، الوزن، عدد التلاميذ، عدد الطلبة، درجة الحرارة ............
وينقسم إلى قسمين:
ب.1. ميزة متغير إحصائي كمي متقطع (منفصل): وهي تلك المتغيرات التي تأخذ قيما صحيحة لا يمكن تجزئتها مثل: عدد الأطفال في العائلة، عدد السيارات، عدد المدخنين ..
ب.2. ميزة متغير إحصائي كمي مستمر: وهي تلك المتغيرات التي تأخذ كل القيم الممكنة مثل: الوزن، العمر، الزمن .....
وينقسم الإحصاء إلى قسمين رئيسين هما:
أ)- الإحصاء الوصفي statistique descriptive:
يهتم بوصف الظواهر وتنظيمها وتبويبها وتمثيلها لإلقاء الضوء عليه من معلومات.
ب)- الإحصاء الاستدلالي statistique inferentielle:
هو مجموعة من الطرائق التي تساعد في اتخاذ القرارات المتعلقة بالمجتمع اعتمادا على نتائج العينة.
مقاييس النزعة المركزية:
ما هو المتوسط؟ هو مجموع البيانات مقسوماً على عدد مفرداتها، ويسمّى أيضاً بالوسط الحسابي. ويصلح للبيانات الكمية فقط وهو وحيد ويتأثر بالقيم الشاذة
مثال:جد الوسط (المتوسط)الحسابي للعلامات الآتية: 9 ،5 ،8 ،8 ، 7،4 ،6 ،10 ، 9، 3
المتوسط الحسابي هو: 6,9
ما هو الوسيط؟ هو العدد الذي يتوسط مجموعة من البيانات المرتبة ويقسم البيانات إلى نصفين. القيمة التي تقع في منتصف مجموعة من البيانات، أو متوسط القيمتين اللتين تقعان في المنتصف، بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. ولا يتأثر بالقيم الشاذة .
الوسيط: في مجموعة من البيانات مرتبة من الأصغر إلى الأكبر، إذا كان عدد مفردات البيانات فرديا، يكون الوسيط هو العدد الواقع في المنتصف. أما إذا كان عددها زوجيا فإن الوسيط هو متوسط العددين المتجاورين في المنتصف.
مثال: مجموعة البيانات : 1، 3، 4، 5، 6، 7، 9
الوسيط هو: 5
مثال: مجموعة البيانات : 1، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9
الوسيط هو: 5+6/2= 5,5
ما هو المنوال؟ هو العدد الأكثر تكرارا من مجموعة من البيانات، أو هو القيمة الأكثر تكرارًا. وإذا تكرر عددان أو أكثر بالمقدار نفسه، فإن كلا منها يكون منوالاً. ولا يتأثر بالقيم الشاذة قد لا يكون وحيدا وقد لا يكون موجودا.
مثال: مجموعة البيانات: 1، 5، 8، 9، 1، 7، 3، 8، 6
المنوالان هما: 1، 8
مقاييس التشتت:
- ما هو المدى؟ هو ناتج فرق قيمتين مجموعة من البيانات المرتبة(أصغر قيمة من أكبر قيمة) ويتأثر بالقيم الشاذة.
- المدى: هو مقياس للتشتت، فهو يصف كيف تنتشر البيانات، أما المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال فهي مقاييس للنزعة المركزية، أي أنها تصف مركز البيانات. وعند الاختيار بين
المتوسط والوسيط والمنوال والمدى، يجب أن نختار المدى فقط عندما نريد وصف انتشار البيانات.
- ما هو التباين؟ يقيس تشتت البيانات عن الوسيط.
- ما هو الانحراف المعياري؟ هو الجذر التربيعي للتباين.
- ما هو معامل الاختلاف؟ وهم من أحسن المقاييس النسبية للتشتت ويستخدم أحيانا للتعرف على القيم الشاذة للبيانات.
- ما هو مقياس الالتواء؟ وهو مقياس تشتت نسبي يحدد هل البيانات متماثلة أم ملتوية، ويكون ناحية اليمين إذا كان الالتواء موجبا، ويكون ناحية اليسار إذا كان الالتواء سالبا، ويكون متماثلا إذا كانت قيمة الالتواء صفرا.



- ما هو مقياس التفرطح؟ الشكل (01) المدبب عندما تكون معظم القيم بالقرب من الوسط الحسابي والذيلين، ويأخذ الشكل المفرطح (02) عندما تكون معظم القيم بعيدة عن الوسط والذيلين، ويكون متوسط التفرطح معتدلا (03) عندما يكون معامل التفرطح مساويا للصفر أو الثلاثة



إرشادات لاستعمال هذه المقاييس:
بالإضافة إلى المتوسط والوسيط والمنوال، يمكنك أيضاً استعمال المدى لوصف مجموعة من البيانات. وفيما يلي بعض الإرشادات لاستعمال هذه المقاييس:

المتوسط والوسيط والمنوال والمدى
المقياس أكثر فائدة عندما ...
المتوسط لا تحتوي مجموعة البيانات قيماً متطرفة.
الوسيط تحتوي مجموعة البيانات قيماً متطرفة.
لا توجد فجوات كبيرة في منتصف البيانات.
المنوال تحتوي مجموعة البيانات أعداداً متساوية.
المدى يتم وصف انتشار البيانات.

تمرين:
يبين التمثيل التالي نقاط مختلفة لمجموعة من التلاميذ. عيّن أيّ تجمعات، أو فجوات، أو قيم متطرفة، واحسب المدى.

تمرين:
يبين الجدول أدناه درجات20 تلميذًا في نشاط الرياضيات. احسب المتوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال.
درجات 20 تلميذًا
9 8 10 5 7
2 7 1 9 6
6 2 1 2 8
5 8 6 8 5
الحل:
المتوسط الحسابي هو: 5,75
الوسيط هو: 6
1، 1، 2، 2، 2، 5، 5، 5، 6، 6، 6، 7، 7، 8، 8، 8، 8، 9، 9، 10
المنوال هو: 1، 2، 5، 6، 7، 8، 9
المدى هو: 9
تمرين:
إليك أربع مجموعات من التلاميذ مع درجاتهم في بعض النشاطات:
المجموعة 01 : 2 ،2 ،3 ،4 ، 9
المجموعة 02 : 2 ،3 ،4 ،5 ، 6
المجموعة 03 : 2 ،2 ،3 ،4 ، 9
المجموعة 04 : 3 ،4 ،4 ،4 ، 5

مجموع البيانات الإجابة
01 المتوسط أكبر من المنوال.
02 المتوسط يساوي الوسيط.
03 المتوسط أكبر من الوسيط.
04 المتوسط والوسيط والمنوال جميعها متساوية.

تمرين:
تقدّر علامات خمس تلاميذ كما يلي:8، 7، 5، 7، 9 إذا أضيفت إليها علامة جديدة قدرها 10، فأيُّ العبارات التالية تكون صحيحة ؟
أ) - ينقص المنوال. ج) - يزداد المتوسط.
ب) - ينقص الوسيط. د) - ينقص المتوسط.
الحل:
المنوال (7) لن يتغير. لأن القيمة الجديدة تظهر مرة واحدة فقط. لذا، فالعبارة (أ) مستبعدة.
بما أن القيمة الجديدة أكبر من كل قيم المجموعة فإن الوسيط لن ينقص. لذا، فالعبارة (ب) مستبعدة.
العبارتان المتبقيتان تتعلقان بالمتوسط، بما أن 9 أكبر من كل قيمة في مجموعة البيانات فإن المتوسط سيزداد. إذن، الإجابة الصحيحة هي: (ج)